เซต (Sets)

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

• การเขียนเซต
	การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
	1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}
			B = { a, e, i, o, u}
			C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
		ตัวอย่างเช่น		A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
				B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
				C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

	สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
	I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ	Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
	I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก	Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
	I แทนเซตของจำนวนเต็ม	Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
	N แทนเซตของจำนวนนับ	R แทนเซตของจำนวนจริง

• เซตจำกัด
	บทนิยาม	เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}	มีสมาชิก 5 สมาชิก
			B = { a, e, i, o, u}	มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

• เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น		A = {1, 2, 3, 4, 5}
		B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
	∴	A = B

• เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น	A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}	∴ A = Ø
	B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }	∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

• เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น		ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
		U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	หรือ	U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

 

• สับเซต

บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B

ตัวอย่างที่ 1		A = {1, 2, 3}
		B = { 1, 2, 3, 4, 5}
	∴	A ⊂ B

ตัวอย่างที่ 2		C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
		D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
	∴	C D

ตัวอย่างที่ 3		E = { 0,1,2 }
		F = { 2,1,0 }
	∴	E ⊂ F และ F ⊂ E

จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F

สับเซตแท้	เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต	ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

• เพาเวอร์เซต

บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

ตัวอย่างที่ 1		A = Ø
		สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
	∴	P(A) = {Ø }

ตัวอย่างที่ 2		B = {1}
		สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
	∴	P(B) = {Ø, {1} }

ตัวอย่างที่ 3		C = {1,2}
		สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
	∴	P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

• การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)

• ยูเนียน (Union)
บทนิยาม		เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∪ B = {1,2,3,4,5}

• อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม		เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∩ B = {3}

• คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม		ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'
ตัวอย่างเช่น		U = {1,2,3,4,5}
		A ={1,2,3}
	∴	A' = {4,5}

• ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม		ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A - B = {1,2}
• ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A) • ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว   n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)   n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)   n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B)   • ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว   n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C) แหล่งอ้างอิง   กวิยา เนาวประทีป เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : เรขาคณิตวิเคราะห์ กรุงเทพมหานคร : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์, 2547.   กวิยา เนาวประทีป เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ระบบจำนวนจริง กรุงเทพมหานคร : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์, 2547.   กวิยา เนาวประทีป เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : เซต กรุงเทพมหานคร : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์, 2547.   กวิยา เนาวประทีป เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ตรรกศาสตร์ กรุงเทพมหานคร : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์, 2547.